simplificació de funcions

Tal com obtenim una funció a partir de la taula de veritat, no es tracta de l'expressió més reduïda de la mateixa. Pel que fa necessari simplificar-la.

Com més baix és la mida de la funció, és més ràpida la seva resolució i el cost econòmic d'implementació també és menor.

Simplificació mitjançant propietats

Es tracta d'aplicar les propietats i teoremes de l'àlgebra de Boole per a obtenir una funció més reduïda.

Per explicar aquest mètode el millor és emprar una funció com a exemple:

a) Primer agrupem termes en parelles que tinguin el major nombre de variables iguals. Es pot utilitzar el mateix terme diverses vegades si és necessari. Propietat distributiva.

b) Les parelles:

Llei del complementari.

c) Traiem l'1. L'element neutre per a la multiplicació.

Aquesta és l'expressió simplificada de la funció inicial. Generalment és necessari aplicar més propietats fins arribar-hi.

Simplificació mitjançant mapes de Karnaugh

És el mètode gràfic de simplificació que es fa servir quan s'utilitzen poques variables. Es tracta d'una taula on es col·loquen les variables de manera que la intersecció de les variables s'obté el valor que pren la funció per a aquestes variables. A més la distribució és tal que sempre les combinacions adjacents (que es diferencien en un bit) queden juntes.

El mapa de dues variables és:

Els valors interns 0, 1, 2 i 3 indiquen la combinació natural de les variables a i b, que prenguessin els valors "0" o "1" segons correspongui.

Per a obtenir un mapa de tres variables es crea el simètric del de dues variables i s'afegeix una variable nova de valor "1" per al nou. Això pot fer-se horitzontalment o verticalment.

Ara el valor de cada combinació ha de col·locar-se en la cel·la corresponent.

Per a obtenir el mapa de quatre variables, es parteix del mapa de tres i creem el simètric horitzontal i vertical de l'anterior. Posem la nova variable i li afegim "0" als valors del mapa antic i "1" als del mapa nou.

S'opera de la mateixa manera per a crear la resta de mapes.

Per a obtenir l'expressió simplificada d'una funció amb aquest sistema es procedeix de la manera següent:

• Un cop seleccionat el mapa segons sigui el nombre de variables, a partir de la taula de veritat se situen els "1" o "0" a la cel·la corresponent. En el cas que existeixin termes indefinits (X) es prenen com a "1" 0o "0" a cada cel·la com més interessi.
• Formar grups d'uns, amb el següent criteri:
• Es pren tots els uns que no es puguin agrupar amb cap altre.
• Es formen grups de dos uns que no puguin formar grups de quatre.
• Es formen grups de quatre uns que no puguin formar grups de vuits.
• ....
• Quan es cobreix tots els uns s'atura el procés.
• Cada grup d'uns ha de formar una figura de quatre costats tenint en compte que el mapa es tanca pels extrems laterals, superior i inferior.
• Un cop establerts els grups s'obté l'expressió de S. Aquesta serà una suma de tants termes com a grups diferents d'uns hi hagi. Per a cada un dels grups, si una variable pren el valor "0" a la meitat de les caselles i "1" en l'altra meitat, no apareixerà el terme; si pren el valor "1" en totes les caselles del grup apareixerà de forma directa; i si pren el valor "0", de manera inversa.

Veiem ara un exemple:

Obtenir simplificada pel mètode de Karnaugh la funció lògica:

Creem el mapa de Karnaugh i col·loquem el valor de la funció a cada cel·la.

 I agrupem els uns

Obtenim l'expressió de S a partir dels grups:

Grup (1,3) = a · c; b  varia el seu valor i no apareix.

Grup (3,7) = a · b; c varia el seu valor i no apareix.

Grup (4) = a· b · c

Després la funció serà:

S = a · c + a · b + a · b · c

Observem que encara es pot simplificar una mica més la funció aplicant la propietat distributiva:

S = a · (c + b) + a · b · c